Question

如圖，正方形ABCD中，AB=l，BC為⊙O的直徑，設(shè)AD邊上有一動點(diǎn)P（不運(yùn)動至A、D），BP交⊙O于點(diǎn)F，CF的延長線交AB于點(diǎn)E，連接PE．
（1）設(shè)BP=x，CF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)CF=2EF時，求BP的長；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△AEP∽△BEC（其對應(yīng)關(guān)系只能是A-B，E-E，P-C）？如果存在，試求出AP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由BC為⊙O的直徑與四邊形ACD是正方形，即可求得AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，則可證得△ABP∽△FCB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由射影定理，可得BC²=CF•EC，又由CF=2EF，即可求得CF的長，由（1）求得BP的長；
（3）由△ABP≌△BCE可得：AP=BE，由△AEP∽△BEC，即可得比例式

AE

BE

=

AP

BC

，設(shè)AP=a，則BE=AP=a，AE=1-a，解方程即可求得AP的長．

解答：解：（1）∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BFC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，
∴AB是⊙O的切線，
∴∠ABP=∠FCB，
∴△ABP∽△FCB，
∴

AB

FC

=

PB

BC

，
∵BP=x，CF=y，
∴

1

y

=

x

1

，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

x

，
自變量x的取值范圍為：1＜x＜

2

；

（2）∵∠ABC=90°，BF⊥EC，
∴BC²=CF•EC，
∵CF=2EF，
∴CF•

3

2

CF=1，
∴CF=

6

3

，
∴BP=

1

CF

=

6

2

；

（3）存在．
理由：∵∠A=∠ABC=90°，∠ABP=∠BCE，AB=BC，
∴△ABP≌△BCE，
∴AP=BE，
若△AEP∽△BEC，
需

AE

BE

=

AP

BC

，
設(shè)AP=a，則BE=AP=a，AE=1-a，
∴

1-a

a

=

a

1

，
∴即a²+a-1=0，
解得：a=

5 -1

2

或a=

-1- 5

2

（舍去），
∴AP=

5 -1

2

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，射影定理等知識．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．