Question

已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，過點C作CD⊥AB于點D。
（1）當點E為DB上任意一點（點D、B除外）時，連接CE并延長交⊙O于點F，AF與CD的延長線交于點G（如圖①），求證：AC²=AG·AF；
（2）李明證明（1）的結論后，又作了以下探究：當點E為AD上任意一點（點A、D除外）時，連接CE并延長交⊙O于點F，連接AF并延長與CD的延長線在圓外交于點G，CG與⊙O相交于點H（如圖②），連接FH后，他驚奇的發現∠GFH=∠AFC，根據這一條件，可證GF·GA=GH·GC，請你幫李明給出證明；
（3）當點E為AB的延長線上或反向延長線上任意一點（點A、B除外）時，如圖③、④所示，還有許多結論成立，請你根據圖③或圖④再寫出兩個類似問題（1）、（2）的結論（兩角、兩弧、兩線段相等或不相等的關系除外）（不要求證明）。

圖1                             圖2                                圖3                             圖4

Answer 1

解：（1）延長CG交⊙O于H，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CH，
∴弧CH=弧AH，
∴∠ACH=∠AFC，
又∠CAG=∠FAC，
△AGC∽△ACF，
∴，
即AC²=AG·AF；
（2）∵CH⊥AB，
∴弧AC=弧AH，
∴∠AFC=∠ACG，
又∠AFC=∠GFH，
∴∠ACG=∠GFH，
又∠G=∠C，
∴△GFH∽△GCA，
∴，
∴GF·GA=GC·CH；
（3）CD²=AD·DB，
AC²=AD·AB，
EF·EC=EA·EB，
AF·GA=AD·AB。