Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連接DE．
（1）DE與半圓0是否相切？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（2）若AD、AB的長是方程x²-16x+60=0的兩個根，求直角邊BC的長．

Answer 1

解：（1）DE與半圓O相切，理由如下：
連接OD、BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BDA=∠BDC=90°，
∵在Rt△BDC中，E為BC邊上的中點，
∴DE=BE，
∴∠EBD=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
∵OD是半徑，
∴DE與半圓O相切；

（2）∵AD、AB的長是方程x²-16x+60=0的兩個根，
∴解方程得：x₁=6，x₂=10，
∵AD＜AB，
∴AD=6，AB=10，
∵在Rt△ABC中，BD⊥AC，
∴Rt△ADB∽Rt△ABC，
∴=，
即AB²=AD•AC，
∴AC==，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=，
∴BC==．
分析：（1）連接OD、BD，求出BD⊥AC，AD=CD，求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，推出∠ODE=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）求出AD和AB的值，證Rt△ADB∽Rt△ABC，得出=，求出AC=，根據勾股定理求出即可．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質，等腰三角形性質，圓周角定理，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算能力．