Question

如圖四邊形ABCD是證明勾股定理時用到的一個圖形，、、是Rt△ABC和Rt△BDE的三邊長，易知.這時我們把形如的方程稱為關于的 “勾系一元二次方程”.

請解決下列問題：

（1）構造一個“勾系一元二次方程”: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

（2）證明:關于的“勾系一元二次方程”必有實數根；

（3）若是 “勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求△的面積.

Answer 1

解：（1）例如： ，只要 、、滿足即可.… 2分

（2）

                        

          ………………………………  3分

 .              

      ∵ ，

∴  .   

∴ “勾系一元二次方程”必有實數根.    ………………………………  4分

（3）∵ 是“勾系一元二次方程”的一個根，

∴ .      

∴  .  ………………………………  5分             

又∵ 四邊形的周長是，

∴ .

∴ .…………………………………………6分

∴ .

解法一：∵ ，

∴ .

∴ .

∴ =.…………………………………………7分

解法二：∴ =_四邊形==.

…………………………………………7分