Question

如圖，已知直線y=kx+2經過點P（1，），與x軸相交于點A；拋物線y=ax²+bx（a＞0）經過點A和點P，頂點為M．
（1）求直線y=kx+2的表達式；
（2）求拋物線y=ax²+bx的表達式；
（3）設此直線與y軸相交于點B，直線BM與x軸相交于點C，點D的坐標為（，0），試判斷△ACB與△ABD是否相似，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點P的坐標，利用待定系數法能確定直線AB的解析式．
（2）首先根據直線AB的解析式求出點A的坐標，點P的坐標已知，利用待定系數法求解即可．
（3）△ACB和△ABD中，已知的條件是一個公共角，若兩者相似，那么夾公共角的兩組對應邊成比例，即只需判斷是否滿足AB²=AC•AD的條件即可．
解答：解：（1）將點P（1，）代入直線y=kx+2中，得：
k+2=，k=；
∴直線AB的解析式：y=x+2．

（2）由直線AB的解析式知：A（-4，0）、B（0，2）．
將點A（-4，0）、P（1，）代入y=ax²+bx（a＞0）中，得：
，解得
∴拋物線的解析式：y=x²+2x．

（3）由（2）的拋物線知：點M（-2，-2）；
由于直線BM經過點B（0，2），設該直線的解析式：y=mx+2，有：
-2m+2=-2，m=2
即直線BM：y=2x+2，得點C（-1，0）．
由A（-4，0）、B（0，2）得：AB²=OA²+OB²=20；
由C（-1，0）、D（，0），得：AC•AD=（4-1）×（4+）=20；
∴AB²=AC•AD
又∠BAC=∠DAB，
∴△ACB∽△ABD．
點評：該題主要考查的是利用待定系數法確定函數解析式以及相似三角形的判定．題目的難度不大，重點在于考查基礎知識的掌握程度．