Question

已知：關于的一元一次方程①的根為正實數，一元二次方程有一實數根
【小題1】若方程①的根為正整數，求整數的值
【小題2】求代數式的值
【小題3】求證：關于的一元二次方程 ②必有兩個不相等的實數根。

Answer 1

【小題1】解：由，得。
依題意。∵ ∴∴。    .……..1分
∵方程的根為正整數，為整數，∴或。
∴       .……..2分
【小題2】解：依題意，方程有一實根，
∴   
∴
＝ ...3分
【小題3】證明：方程②的判別式為 Δ＝.由得。
證法一：
（i）若，則Δ＝。此時方程②有兩個不相等的實數根。.……..4分
（ii）若，由（2）知，故
Δ＝        .……..5分
∵方程的根為正實數，∴方程的根為正實數。
得。              .……..6分
∴  ∵
∴Δ＝。
此時方程②有兩個不相等的實數根。  .……..7分

解析