Question

某河道上有一個半圓形的拱橋，河兩岸筑有攔水堤壩．其半圓形橋洞的橫截面如圖所示．已知上、下橋的坡面線ME、NF與半圓相切，上、下橋斜面的坡度i=1：3.7，橋下水深=5米．水面寬度CD=24米．設(shè)半圓的圓心為O，直徑AB在坡角頂點M、N的連線上．求從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長．（參考數(shù)據(jù)：π≈3，

3

≈1.7，tan15°=

1

2+ 3

）

Answer 1

分析：首先明確從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長應(yīng)為如圖ME+

EF

+FN，連接如圖，把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，由已知求出OD即半徑，再由坡度i=1：3.7和tan15°=

1

2+ 3

=1：3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，則得出

EF

所對的圓心角∠EOF，相繼求出弧EF的長，從而求出從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長．

解答：解：連接FO、EO、DO，
已知CD=24m，0P=5m，∴PD=12m，
∴OD²=OP²+PD²=5²+12²=169，
∴OD=13m，則OE=OF=13m，
已知坡度i=1：3.7和tan15°=

1

2+ 3

=1：3.7，
∴∠M=∠N=15°，
∴cot15°=

1

tan15°

=2+

3

，
∵上、下橋的坡面線ME、NF與半圓相切，
∴tan∠M=

OE

EM

，
∴ME=FN=

13

tan15°

=13×（2+

3

）=26+13

3

（m），
∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，
∴∠EOF=180°-75°-75°=30°，
∴

EF

=

30π×13

180

=

13

6

π（m），
∴ME+

EF

+FN=26+13

3

+

13

6

π+26+13

3

≈102.7（m）．
答：從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長為102.7米．

點評：此題考查的知識點是解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由已知先求出半圓的半徑和∠M和∠N，再由直角三角形求出MF和FN，求出弧EF的長．