Question

已知關于x的方程（a-2）x²-2（a-1）x+（a+1）=0，當a為何值時
（1）方程只有一個實數根；（不包括等根情況）
（2）方程有兩個實數根；
（3）無實數根．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程只有一個實數根；（不包括等根情況），即方程是一元一次方程，則二次項系數等于0，一次項系數不等于0，從而求解；
（2）方程有兩個實數根，則方程是一元二次方程，且△≥0，即可求得a的范圍；
（3）方程無實數根，則判別式△＜0．
解答：解：（1）若方程只有一個實數根，并且不包括等根情況，
∴a-2=0，即a=2，
此時方程為：-2x+3=0，方程為一元一次方程，
∴一定只有一個實數根，
∴a=2時方程只有一個實數根（不包括等根情況）；
（2）若方程有兩個實數根，
則a-2≠0，且△=b²-4ac=4（a-1）²-4（a-2）（a+1）≥0，
∴整理得出：
-4a+12≥0，
∴a≤3且a≠2，∴當a≤3且a≠2時方程有兩個實數根；
（3）若方程無實數根，
則a-2≠0，且△=b²-4ac=4（a-1）²-4（a-2）（a+1）＜0，
∴a＜3．
∴當a＜3，且a≠2時，方程無實數根．
點評：總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
此題切記不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件．