Question

（本題滿分10分）如圖（1），點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，連接CN、DM．

（1）判斷CN、DM的數量關系與位置關系，并說明理由；

（2）如圖（2），設CN、DM的交點為H，連接BH，求證：△BCH是等腰三角形；

（3）將△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延長MA′交DC的延長線于點E，如圖（3），求tan∠DEM．

 

Answer 1

23．（1）CN＝DM，CN⊥DM，

     證明：∵點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點

           ∴AM＝DN.AD＝DC.∠A＝∠CDN

           ∴△AMD≌△DNC，

           ∴CN＝DM．∠CND＝∠AMD

           ∴∠CND+∠NDM＝∠AMD+∠NDM＝90⁰

           ∴CN⊥DM

           ∴CN＝DM，CN⊥DM…………………………………………3分

（2）證明：延長DM、CB交于點P．

∵AD∥BC ，∴∠MPC＝∠MDA，∠A＝∠MBP

∵ MA＝MB △AMD≌△BMP，∴ BP＝AD＝BC．

    ∵∠CHP＝90⁰  ∴BH＝BC，即△BCH是等腰三角形……………………6分

（3）∵AB∥DC  ∴∠EDM＝∠AMD＝∠DME   ∴EM＝ED

    設AD＝A′D＝4k，則A′M＝AM＝2k，

     ∴DE＝EA′+2k．在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²＝DE²

        ∴（4k）²+A′E²＝（EA′+2k）²解得A′E＝3k，

    ∴tan∠DEM＝A′D：A′E＝．………………………………10分

解析:略