Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（3，0），（3，4）。動點M、N分別從O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動。其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動。過點N作NP⊥BC，交AC于P，連結MP. 已知動點運動了x秒.

【小題1】P點的坐標為（            ，              ）；（用含x的代數式表示）
【小題2】試求⊿MPA面積的最大值，并求此時x的值。
【小題3】請你探索：當x為何值時，⊿MPA是一個等腰三角形？
你發現了幾種情況？寫出你的研究成果。

Answer 1

p;【答案】
【小題1】(3—x , x)
【小題2】設⊿MPA的面積為S，在⊿MPA中，MA=3—x，MA邊上的高為x，其中，0≤x≤3.
∴S=（3—x）×x …………………………………………4分
=(—x²+3x) = —(x—)²+
∴S的最大值為 …………………………………………5分
此時x =. …………………………………………………6分
【小題3】)延長ＮＰ交x軸于Ｑ，則有ＰＱ⊥ＯＡ
①若ＭＰ＝ＰＡ
∵ＰＱ⊥ＭＡ
∴ＭＱ＝ＱＡ＝x.
∴3x="3," ∴x="1 " …………………………………………7分
②若ＭＰ＝ＭＡ，則ＭＱ＝3—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝３—x
在Ｒt⊿ＰＭＱ中，∵ＰＭ²＝ＭＱ²＋ＰＱ²
∴(３—x) ²=(3—2x) ²+ (x) ²
∴x= …………………………………………8分③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝３—x
∴x=３—x
∴x= 
綜上所述，x=1，或x=，或x=。…………………………………9分
（注：如果多解，統扣1分）解析:
略