Question

【題目】如圖，A(2，1)，B(2，0)，C為y軸上一動點，過A，C兩點的拋物線為：y＝ax2+bx+n(a≠0，a≠﹣1)，直線OA與直線BC交于點P，

(1)若n＝1，且拋物線恰好也過P點，直接寫出拋物線頂點坐標為：(_____，______)

(2)當拋物線同時經過A，C，P三點時，此時P必為該拋物線的頂點，請以n＝2為例驗證上述結論的正確性．

(3)若拋物線與直線BC有唯一交點C，

①求a的值；并求當C沿y軸向上運動時，其頂點同時向下運動所對應n的取值范圍；

②設過B另有一直線(與BC、AB不重合)，也與拋物線僅有一個交點，設為D，經探究發現：無論C在y軸上如何運動，直線CD一定經過一個確定不動點Q．請直接寫出該不動點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)1，；(2)證明見解析；(3)①a＝，n≥2；②Q(2，2)．

【解析】

（1）待定系數法求直線BC解析式，直線OA解析式，解方程組求得點P坐標，待定系數法求拋物線解析式，化為頂點式即可；

（2）由B（2，0），C（0，2）可得直線yBC=-2x+2，解方程組求得交點P坐標，代入拋物線解析式即可求得a，b；配方法將拋物線解析式化為頂點式即可得頂點坐標；

（3）①由y=ax2+bx+n過點A（2，1），可得y=ax2+（1-n-4a）x+n，與y=x+n聯立并消去y，再由拋物線與直線BC有唯一交點C，可得△=1-4a=0，將a=代入拋物線解析式即可求得頂點縱坐標；進而可求得n的范圍；

②由直線BD：y=px-2p與拋物線只有一個交點，可得n+2p=4，進而可求得D（4，4-n），再求得直線CD解析式為y=x+n，即可得：直線CD必定經過定點Q（2，2）．

(1)∵n＝1，B(2，0)，

∴C(0，1)

設直線BC解析式為y＝mx+n，則，解得，

∴直線BC解析式為y＝-x+1，

∵A(2，1)，

∴直線OA解析式為y＝x，

解方程組，得.

∴P(1，)，

∵拋物線y＝ax2+bx+1(a≠0，a≠﹣1)經過A，P點，則，解得

∴拋物線解析式為y＝﹣x+1＝(x﹣1)2+

∴拋物線頂點為P(1，)，

故答案為：1，

(2)由(1)知：yOA＝x，

由B(2，0)，C(0，n)可得直線yBC＝x+n

當n＝2時，則，解得

∴P(，)，

將P(，)，A(2，1)代入y＝ax2+bx+2，得，解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x+2＝+

∴頂點坐標為(，)，即為P點；

(3)①由y＝ax2+bx+n過點A(2，1)，得4a+2b+n＝1，則b＝(1﹣n﹣4a)，

∴y＝ax2+(1﹣n﹣4a)x+n

聯立方程組，消去y整理得ax2+(1﹣4a)x＝0，

根據題意要拋物線與直線BC有唯一交點C，則△＝0，

∴1﹣4a＝0，

∴a＝，

此時，拋物線為：y＝=

其頂點縱坐標為：，

要C沿y軸向上運動時，其頂點同時向下運動，即要求上式隨n的增大而減小，

∴n≥2；

②∵直線BD解析式為y＝px+q，將B(2，0)代入得2p+q＝0，

∴q＝﹣2p

∴直線BD解析式為y＝px﹣2p

聯立方程組，消去y整理得x2﹣2(n+2p)x+4(n+2p)＝0，

根據題意要拋物線與直線BD有唯一交點C，則△＝0，

∴4(n+2p)2﹣16(n+2p)＝0，即(n+2p)(n+2p﹣4)＝0

∵n+2p≠0

∴n+2p＝4

即p＝

∴直線BD解析式為y＝x+n﹣4

∴D(4，4﹣n)

∵C(0，n)

∴直線CD解析式為y＝x+n，當x＝2時，y＝×2+n＝2

∴直線CD必定經過定點Q(2，2)．