Question

如圖，點F為正方形內一點，在正方形外有一點E，滿足∠ABF=∠CBE，BF=BE．
（1）求證：△ABF≌△CBE；
（2）連接EF，試判斷△BEF的形狀，并證明你的結論．
（3）當CF：BF=1：2，∠BFC=135°時，求cos∠FCE的值．

Answer 1

（1）證明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，
∵∠ABF=∠CBE，BF=BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．

（2）解：△BEF的形狀是等腰直角三角形，
證明：∵△ABF≌△CBE，
∴BF=BE，
∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90°，
即∠ABF+∠FBC=90°，
∵∠ABF=∠CBE，
∴∠FBC+∠CBE=90°，
即∠FBE=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形．

（3）解：設CF=a，BF=2a，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=45°，
∵∠BFC=135°，
∴∠CFE=90°，
由勾股定理得：CE==3a，
∴cos∠FCE===．
答：cos∠FCE的值是．
分析：（1）根據正方形性質推出AB=BC，根據SAS證出即可；
（2）根據全等三角形性質推出BE=BF，根據正方形性質推出∠ABF+∠FBC=90°，證∠FBC+∠CBE=90°即可；
（3）根據等腰直角三角形性質推出∠BFE=45°，推出∠CFE=90°，設CF=a，BF=2a，求出CE=3a，根據銳角三角函數求出即可．
點評：本題主要考查對銳角三角函數的定義，正方形的性質，全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．