Question

商場舉辦一次迎亞運抽大獎的活動，將五張亞運吉祥物的圖片都平均分成上、下兩段，制成十幅同樣大小的卡片，然后將上、下兩段分別混合均勻，放人兩只密閉的盒子里，由顧客從兩個盒子中各隨機抽取一張，若兩張卡片剛好拼成一個吉祥物的圖案，即可獲得獎品．
（1）請用樹形圖或列表法求出顧客抽取一次獲得獎品的概率；
（2）為增強活動的趣味性，商場在兩個盒子中分別放入同樣多的空白卡片若干張．小明對顧客抽取的結果中出現“至少一張空白卡片”的次數做了大量的統計，統計數據如下表：

抽取卡片次數	30	50	80	100	150	180	240	300	400
出現“至少一張空白卡片”的次數	23	38	59	74	113	135	181	224	300
出現“至少一張空白卡片”的頻率	0.77	0.76	0.75	0.74	0.75	0.75	0.75	0.75	0.75

如果實驗繼續進行下去，根據上表數據，出現“至少一張空白卡片”的頻率將穩定在它的概率附近，試估計抽取一次出現“至少一張空白卡片”的概率（精確到0.01）；
（3）設商場在兩個盒子中分別放入的空白卡片x張，根據（2），求出x的值．

Answer 1

解：（1）設第一個盒子，五張卡片分別為：A、B、C、D、E，
第二個盒子，五張卡片分別為：a、b、c、d、e，
樹形圖如下：
，
∴得到Aa，Bb，Cc，Dd，Ee一共有5種情況，所有的可能為25種，
∴顧客抽取一次獲得獎品的概率為：；

（2）根據表格可知：“至少一張空白卡片”的概率為：0.75；

（3）根據題意知：
第一個盒子共有（5+x）張卡，
第二個盒子共有（5+x）張卡，
則共有（5+x）²種可能性，
“至少一張空白卡片”共有x（10+x）種可能性
則：=0.75，
化簡得：x²+10x-75=0，
解得：x₁=5，x₂=-15（不合題意舍去），
經檢驗得出x=5是原方程的根，
答：x的值為5．
分析：（1）設第一個盒子，五張卡片分別為：A、B、C、D、E，第二個盒子，五張卡片分別為：a、b、c、d、e，進而得出樹狀圖，求出概率即可；
（2）利用表格數據直接得出概率即可；
（3）首先根據題意得到共有（5+x）²種可能性，“至少一張空白卡片”共有x（10+x）種可能性，進而解方程得出即可．
點評：此題主要考查了利用頻率估計概率以及分式方程的應用和樹狀圖法求概率，此題難度較大，得出“至少一張空白卡片”共有x（10+x）種可能性是解題關鍵．