Question

【題目】認真閱讀下列材料，然后完成解答：

（材料）

如圖，已知平面直角坐標系中兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），如何求A、B兩點間的的距離|AB|的值？

過點A向y軸作垂線AN1、過點B向x軸作垂線BM2，垂足分別為N1（0，y1）和M2（x2，0），直線AN1和BM2相交于點Q．

在Rt△AQB中，|AB|2= |AQ|2+ |BQ|2

為了計算AQ和BQ，過點A向x軸作垂線，垂足為M1（x1，0）；過點B向y軸作垂線，垂足為N2（0，y2），于是有|AQ|=|M1M2|=|x3-x1|，|BQ|=|N1N2|=|y2-y1|．

所以，|AB|2=．

由此得到A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點間的距離公式：．

根據定義：兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離．

因此，線段AB的長度計算公式為．

（問題）

（1）平面直角坐標系中有兩點A（0，1）、B（2，3），求線段AB的長；

（2）表示線段MN的長，其中點M的坐標為（a，b），點N的坐標為______；

（3）如圖，在x軸上有一點P（x，0），試求PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AB=；（2）(－2，0)；（3）．

【解析】

（1）利用兩點間的距離公式進行計算即可；

（2）由點M坐標為（a，b），可將MN變化為，可得點N坐標為(－2，0)；

（3）作點A關于x軸的對稱點A′，連接BA′，直線BA′于x軸的交點即為所求的點P，AP=A′P，A′B=A′P+BP=PA+PB，根據兩點之間，線段最短，可得A′B等于PA+PB的最小值；

解：

（1）將點A（0，1）、B（2，3）代入得，

===；

∴AB的長為；

（2）由題可知，，點M坐標為（a，b），

∴，

∴點N坐標為(－2，0)；

（3）如圖：作點A關于x軸的對稱點A′（0，－1），連接A′B，交x軸于點P，可得，AP=A′P，A′B=A′P+BP=PA+PB，

根據兩點之間，線段最短，可得A′B等于PA+PB的最小值．

===；