Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，過點B作BE∥CD，交AC的延長線于點E，連接BC．
（1）求證：BE為⊙O的切線；
（2）如果CD=6，tan∠BCD=，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）證明：∵BE∥CD，AB⊥CD，
∴AB⊥BE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴BE為⊙O的切線．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CM=CD，=，CM=CD=3，
∴∠BAC=∠BCD．
∵tan∠BCD==，
∴BM=，
∵=tan∠BCD=．
∴AM=6．
∴AB=AM+BM=7.5．
分析：（1）由BC∥CD，AB⊥CD，可證AB⊥BE，從而可證BE為⊙O的切線；
（2）由垂徑定理知：CM=CD，在Rt△BCM中，已知tan∠BCD和CM的值，可將BM，CM的值求出，由=，可知：∠BAC=∠BCD，在Rt△ACM中，根據三角函數可將AM的值求出，故⊙O的直徑為AB=AM+BM．
點評：本題主要考查學生對圓、三角函數、以及解直角三角形的運算能力．