Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形的對角線交于點O，連結OC．已知AC＝5，OC＝6，則另一直角邊BC的長為 ．

Answer 1

【答案】4

【解析】試題分析：過O作OF垂直于BC，再過A作AM垂直于OF，由四邊形ABDE為正方形，得到OA=OB，∠AOB為直角，可得出兩個角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM為直角三角形，其兩個銳角互余，利用同角的余角相等可得出一對角相等，再由一對直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM與△BOF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出AM=OF，OM=FB，由三個角為直角的四邊形為矩形得到ACFM為矩形，根據矩形的對邊相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代換可得出CF=OF，即△COF為等腰直角三角形，由斜邊OC的長，利用勾股定理求出OF與CF的長，根據OF﹣MF求出OM的長，即為FB的長，由CF+FB即可求出BC的長．解法一：如圖1所示，過O作OF⊥BC，過A作AM⊥OF，∵四邊形ABDE為正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF中， ，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四邊形ACFM為矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF為等腰直角三角形，∵OC=6，∴根據勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，則BC=CF+BF=6+1=7．故答案為：7．解法二：如圖2所示，過點O作OM⊥CA，交CA的延長線于點M；過點O作ON⊥BC于點N．易證△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O點在∠ACB的平分線上，∴△OCM為等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案為：7．