Question

在直角坐標系中，A（0，4），B（4，0）．點C從點B出發沿BA方向以每秒2個單位的速度向點A勻速運動，同時點D從點A出發沿AO方向以每秒1個單位的速度向點O勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點C、D運動的時間是t秒（t＞0）．過點C作CE⊥BO于點E，連接CD、DE．
（1）當t為何值時，線段CD的長為4；
（2）當線段DE與以點O為圓心，半徑為的⊙O有兩個公共交點時，求t的取值范圍；
（3）當t為何值時，以C為圓心、CB為半徑的⊙C與（2）中的⊙O相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CF⊥AD于點F，則CF，DF即可利用t表示出來，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一個關于t的方程，從而求得t的值；
（2）易證四邊形ADEC是平行四邊形，過點O作OG⊥DE于點G，當線段DE與⊙O相切時，則OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，則OG也可以利用t表示出來，當OG＜時，直線與圓相交，據此即可求得t的范圍；
（3）分兩圓外切與內切兩種情況進行討論，當外切時，圓心距等于兩半徑的和，當內切時，圓心距等于圓C的半徑減去圓O的半徑，列出方程即可求得t的值．
解答：解：（1）過點C作CF⊥AD于點F，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，
∴∠ABO=30°，
由題意得：BC=2t，AD=t，
∵CE⊥BO，
∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，
∵CF⊥AD，AO⊥BO，
∴四邊形CFOE是矩形，
∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，
在Rt△CFD中，DF²+CF²=CD²，
∴（4-t-t）²+（4-t）²=4²，即7t²-40t+48=0，
解得：t=，t=4，
∵0＜t＜4，
∴當t=時，線段CD的長是4；

（2）過點O作OG⊥DE于點G（如圖2），
∵AD∥CE，AD=CE=t
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴DE∥AB
∴∠GEO=30°，
∴OG=OE=（4-t）
當線段DE與⊙O相切時，則OG=，
∴當（4-t）＜，且t≥4-時，線段DE與⊙O有兩個公共交點．
∴當 4-＜t≤時，線段DE與⊙O有兩個公共交點；

（3）當⊙C與⊙O外切時，t=；
當⊙C與⊙O內切時，t=；
∴當t=或秒時，兩圓相切．
點評：本題考查了勾股定理以及直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，正確理解四邊形ADEC是平行四邊形是關鍵．