Question

如圖所示，△ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，延長BC到E．使CE=CD．
（1）求∠E的度數．
（2）過D點作DM⊥BE，垂足為M．求證：BM=EM．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據等邊三角形的性質得出∠ACB=60°，由CE=CD可知∠E=∠EDC，再根據三角形外角的性質即可得出結論；
（2）要證BM=EM可證BD=DE，根據三線合一得出BM=EM．
解答：（1）解：∵△ABC是等邊三角形 （已知），
∴∠ACB=60°（等邊三角形性質）．
∵CE=CD（已知），
∴∠E=∠EDC（等邊對等角）．
∵∠ACB=∠E+∠EDC（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），
∴∠E=30°．
（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，
∴BD平分∠ABC（三線合一），
∴∠ABC=2∠DBE；
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE．
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E；
又∵∠ABC=∠ACB，
∴2∠DBC=2∠E，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE．
又∵DM⊥BE，
∴BM=EM．
點評：本題考查了等邊三角形和等腰三角形的性質．解題的關鍵是利用等腰三角形的三線合一的性質．