Question

如圖，面積為-c的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c是整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，求a、b、c的值．

Answer 1

解：作BH⊥AC于點(diǎn)H，連接HG，設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為d，
則AH=CH=d，在Rt△AHB中，BH==d，
∴S_△ABC=×d×d=1，
∴d=．
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為e，如圖，有軸對(duì)稱可知S_△BGH+S_△GHC=S_△ABC，且GM=e，
∴×d×e+×d×e=，
∵d=，
∴e=2×（2-）×．
∴e²=28×-48，即正方形的面積為28×-48，
∵正方形DEFG的面積為-c，
∴-c=28×-48，
又∵a，b，c是整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，
∴a=28，b=3，c=48．
分析：可先利用三角形的面積公式，求出等邊三角形的邊長(zhǎng)，再設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)為e，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)建立關(guān)于e的方程，從而求出e，同時(shí)也能夠求出正方形的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)的整除性問題在幾何圖形中的應(yīng)用，解決本類題目要注意運(yùn)用方程思想．