Question

（1）已知x+

1

x

=3，求

x2

x4+3x2+1

的值；
（2）已知關于x的一元二次方程x²-x+1-a=0有兩個不相等的正根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）代數式

x4+3x2+1

x2

=x²+3+

1

x2

=（x+

1

x

）²+1，再把已知代入即可；
（2）根據一元二次方程有兩個不相等的實根，則判別式△＞0，并且兩根的和大于0，且兩根的積大于0，根據一元二次方程的根與系數的關系即可得到關于a的不等式，即可求得a的范圍．

解答：解：（1）∵x+

1

x

=3，
∴

x4+3x2+1

x2

=x²+3+

1

x2

=（x+

1

x

）²+1，
=3²+1=10，
∴

x2

x4+3x2+1

=

1

10

；
（2）設方程的兩個不相等的正根為x₁、x₂，則：
△=（-1）²-4（1-a）＞0 ①，
x₁+x₂=1＞0，x₁x₂=1-a＞0 ②，
解①，得：a＞

3

4

，
解②，得：a＜1，
所以a的取值范圍是

3

4

＜a＜1．

點評：本題考查的是利用“整體代入法”求代數式的值及一元二次方程根與系數，鍛煉了學生整體的思想意識．