Question

已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，P是AD的中點，延長BP交AC于點F．
（1）求證：PB=3PF；
（2）如果AC的長為13，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）本題可通過構建中位線來求解，過D點作DE∥BF，交AC于E；則DE、PF分別是△CBF、△ADE的中位線，可根據BP、PF與DE的比例關系求出BP、PF的比例關系．
（2）由（1）可知：E、F是AC的三等分點，由此可得出AF的長．

解答：解：（1）證明：如圖所示，過D點作DE∥BF，交AC于E，
因為AB=AC，AD為△ABC的高，
所以根據等腰三角形的三線合一得D為BC的中點，
所以DE=

1

2

BF．
同理，因為P為AD的中點
所以PF=

1

2

DE，即PF=

1

4

BF，所以BP=3PF．

（2）由（1）得：PF、DE分別是DE、BF的中位線，
∴AF=EF，CE=EF．
∴AC=AF+EF+CE=3AF．
∵AC=13，
∴AF=

13

3

．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質和中位線定理，通過作輔助線來構建與所求線段相關的中位線是解題的關鍵．