Question

如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCO的點A、C分別在x軸、y軸上，點B坐標為（6，6）連接AC．拋物線y=x²+bx+c經過B、C兩點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若動點E從原點出發，以每秒一個單位的速度，沿折線O-C-B-A做勻速運動，同時點F從原點出發，以相同的速度向x正半軸方向做勻速運動，過點E作ED⊥x軸于點D，當點E停止運動時，點F也停止運動．設△EFD的面積為S，運動時間為x（0＜x＜18），試寫出S與x的函數關系式，并求出S的最大值．
（3）P是直線AC上的點，在拋物線上是否存在點Q，使以0、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質得到B（6，6），C（0，6），把它們分別代入拋物線y=x²+bx+c，借用方程組求得b=-6，c=6，則拋物線y=x²-6x+6；
（2）需要分三種情況考慮：
①當0＜x≤6時，S=

1

2

OE•OF=

1

2

x²；
②6＜x＜12時，S=

1

2

×6×6=18；
③當12≤x＜18時，S=

1

2

（18-x）（x-6）=-

1

2

x²+12x-54；                  
（3）需要分類討論：以OC為菱形的邊和以OC為菱形的對角線兩種情況進行求解．

解答：解：（1）∵點B坐標為（6，6），四邊形ABCO為正方形，
∴點C（0，6）
∴把B（6，6），C（0，6）分別代入拋物線y=x²+bx+c，得

62+6b+c=6 c=6

，
解得：

b=-6 c=6

，
∴拋物線y=x²-6x+6；
                                   
（2）當0＜x≤6時，S=

1

2

OE•OF=

1

2

x²，此種情況x=6時，S有最大值為18；
當6＜x＜12時，S=

1

2

×6×6=18，此種情況S的值恒為18；            
當12≤x＜18時，S=

1

2

（18-x）（x-6）=-

1

2

x²+12x-54；                  
此種情況，S與x為二次函數關系，拋物線開口向下，對稱軸x=12，在12≤x＜18范圍內，S隨x的增大而減小．所以x=12時，S值最大為18．
綜合上述三種情況，S最大值為18；

（3）存在．  Q（6，6）．
補充：
①當OC為邊時，根據題意知，當點P與點A重合，點Q與點B重合時，四邊形PQCO，即四邊形ABCO是正方形，符合題意，此時Q（6，6）；
②當以OC為對角線時，PQ與線段OC垂直平分，如圖所示，此時不存在符合條件的菱形．
綜上所述，Q（6，6）．

點評：本題綜合考查了待定系數法求拋物線解析式，二次函數的性質、直角三角形和菱形的判定方法，同時也考查了數形結合、分類討論和方程函數的數學思想．本題第3問要從0、C、P、Q四個點中的不動點O、C為突破口，線段OC可能是菱形的邊長，也可能為菱形的對角線，進行分類討論．