Question

如圖，⊙O的半徑OC與直徑AB垂直，點P在OB上運動（點O、B除外），CP的延長線交⊙O于點D，在OB的延長線上取點E，使ED=EP．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）當OC=2，ED=2

3

時，求∠E的正切值tanE和圖中陰影部分的面積S（結果保留無理數）．

Answer 1

分析：（1）只要證明ED⊥OD，即可得到ED是圓的切線；
（2）根據陰影部分的面積S_陰影=S_△ODE-S_扇形求解．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OD是圓的半徑，
∴OD=OC．
∴∠CDO=∠DCO．
∵OC⊥AB，
∴∠COP=90°．
∵在Rt△OPC中，∠CPO+∠PCO=90°，
∵ED=EP，
∴∠EDP=∠EPD=∠CPO．
∴∠EDO=∠EDP+∠CDO=∠CPO+∠DCO=90°．
∴ED⊥OD，即ED是圓的切線．

（2）解：∵OD=OC=2，ED=2

3

，
∴tan∠E=

OD

ED

=

3

3

．
∴∠E=30°，∠DOB=60°．
∴S_陰影=S_△ODE-S_扇形=

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π（平方單位）．

點評：本題利用了等邊對等角，直角三角形的性質，等角的余角相等，正切的概念，直角三角形的面積公式，扇形的面積公式求解．