Question

　　(安徽省2003年中考試題)如圖，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程度稱為“正度”．在研究“正度”時，應保證相似三角形的“正度”相等．

　　設等腰三角形的底和腰分別為a、b，底角和頂角分別為、β．要求“正度”的值是非負數．

　　同學甲認為：可用式子|a-b|來表示“正度”，|a-b|值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．

　　同學乙認為：可用式子|α-β|來表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．

　　探究：(1)他們的方案哪個較合理，為什么？

　　(2)對你認為不夠合理的方案，請加以改進(給出式子即可)；

　　(3)請再給出一種衡量“正度”的表達式．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)同學乙的方案較為合理．因為|α-β|的值越小，α與β越接近于60°，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等． 　　同學甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等．如邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|4-8|=4． 　　(2)可將同學甲的方案改為用、(k為正數)等來表示“正度”． 　　(3)還可用|α-60°|、|β-60°|、|α+β-120°|等來表示． 　　點評：本題考查學生對相似三角形和特殊三角形等知識的綜合運用，解決的關鍵是保證三角形相似時“正度”要相等，通過分析、比較兩位同學的方案尋找突破口，這是一道很好的開放式探究題，是近幾年的中考熱點．