Question

如圖，直線y=ax+b與雙曲線交于點A、B，與x軸交于點C，AD⊥x軸于點D，且cos∠AOC=，AD=6，S_△ABD=2S_△AOD．
（1）求雙曲線與直線的解析式；
（2）連接OB，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△AOD中，由cos∠AOC的值，利用銳角三角函數定義，設OD=m，則有OA=m，再由AD的長，利用勾股定理列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出A的坐標，將A的坐標代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，過B作BE垂直于AD，設B橫坐標為n，由OD的長為2，用n-2表示出BE，進而由AD為底，BE為高，表示出△ABD的面積，再求出△AOD的面積，根據△ABD的面積等于2△AOD的面積列出關于n的方程，求出方程的解得到n的值，即為B的橫坐標，將B的橫坐標代入反比例解析式中求出B的縱坐標，確定出B的坐標，將A和B兩點坐標代入直線y=ax+b中，得到關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出一次函數解析式；
（2）連接OB，過B作BF垂直于x軸，由A和B的坐標求出AD、OD、BF、OF的長，由△AOB的面積=△AOD的面積+梯形ABFD的面積-△OBF的面積，求出即可．
解答：解：（1）在Rt△AOD中，cos∠AOC=，
設OD=m，則OA=m，又AD=6，
根據勾股定理得：OA²=OD²+AD²，即（m）²=m²+6²，
解得：m=2，
∴A（2，6），
將A的坐標代入反比例解析式得：6=，
解得：k=12，
則反比例解析式為y=；
過B作BE⊥AD，交AD于點E，
設B的橫坐標為n，則BE=n-2，
∴S_△ABD=×6×（n-2），S_△AOD=×2×6=6，且S_△ABD=2S_△AOD，
∴×6×（n-2）=12，
解得：n=6，
將x=6代入反比例解析式得：y=2，
∴B坐標為（6，2），
將A和B坐標代入y=ax+b得：
，
解得：，
則直線AB解析式為y=-x+8；

（2）過B作BF⊥y軸，交y軸于點F，
∵A（2，6），B（6，2），
∴AD=6，OD=2，BF=2，OF=6，DF=OF-OD=6-2=4，
則S_△AOB=S_△AOD+S_梯形ABFD-S_△BOF
=AD•OD+（BF+AD）•DF-BF•OF
=×2×6+×（2+6）×4-×2×6
=16．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數定義，勾股定理，坐標與圖形性質，以及待定系數法求函數解析式，待定系數法是數學中常用的解題方法，學生做題要靈活運用．