Question

如圖所示，以正方形ABCD的邊AB為直徑，在正方形內部作半圓，圓心為O，DF切半圓于E，交AB的延長線于點F，BF=4．
（1）求證：△EFO∽△AFD，并求的值；
（2）求cos∠F的值；
（3）求線段BE的長．

Answer 1

解：（1）易知∠OEF=∠FAD=90°，而∠F=∠F，
故△EFO∽△AFD，
所以，
而EO=AO=AB=AD，即=；

（2）由△OEF∽△DAF，得===，
即AF=2EF，又EF²=FB•FA=BF•2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=AB+BF=10．
cos∠F==；

（3）由△BEF∽△EAF，得 ===，
設BE=k，則AE=2k，
由AE²+BE²=AB²，得
（2k）²+k²=12²，
解得k=，
故BE=．
分析：（1）先證明△EFO∽△AFD，然后根據相似三角形的對應邊成比例得到；
（2）解答此題的關鍵是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根據此數值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F；
（3）由△BEF∽△EAF，設BE=k，則AE=2k，即可求得BE．
點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、正方形的性質以及銳角三角函數的定義等知識點．解題的關鍵在于根據已知條件找到相似三角形．