Question

如圖，已知一次函數y=2x+2的圖象與y軸交于點B，與反比例函數y=的圖象的一個交點為A（1，m）．過點B作AB的垂線BD，與反比例函數y=（x＞0）的圖象交于點D（n，-2）．
（1）求k₁和k₂的值；
（2）若直線AB、BD分別交x軸于點C、E，試問在y軸上是否存在一個點F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A坐標代入一次函數解析式中求出m的值，確定出A的坐標，將A坐標代入反比例函數y=中即可求出k₁的值；過A作AM垂直于y軸，過D作DN垂直于y軸，可得出一對直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ABM與三角形BDN相似，由相似得比例，求出DN的長，確定出D的坐標，代入反比例函數y=中即可求出k₂的值；
（2）在y軸上存在一個點F，使得△BDF∽△ACE，此時F（0，-8），理由為：由y=2x+2求出C坐標，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE為三角形BDN的中位線，求出OE的長，進而利用兩點間的距離公式求出AE，CE，AC，BD的長，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的長，即可確定出此時F的坐標，
再利用BD=DF時，進而得出即可．
解答：解：（1）將A（1，m）代入一次函數y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A（1，4），
將A（1，4）代入反比例解析式y=得：k₁=4；
過A作AM⊥y軸，過D作DN⊥y軸，
∴∠AMB=∠DNB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°，
∴∠BAM=∠DBN，
∴△ABM∽△BDN，
∴=，即=，
∴DN=8，
∴D（8，-2），
將D坐標代入y=得：k₂=-16；

（2）符合條件的F坐標為（0，-8），理由為：
由y=2x+2，求出C坐標為（-1，0），
∵OB=ON=2，DN=8，
∴OE=4，
可得AE=5，CE=5，AC=2，BD=4，∠EBO=∠ACE=∠EAC，
若△BDF∽△ACE，則=，即=，
解得：BF=10，
則F（0，-8）．
綜上所述：F點坐標為（0，-8）時，△BDF∽△ACE．
點評：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，待定系數法確定函數解析式，坐標與圖形性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．