Question

受西南地區旱情影響，某山區學校學生缺少飲用水．我市中小學生決定捐出自己的零花錢，購買300噸礦泉水送往災區學校．運輸公司聽說此事后，決定免費將這批礦泉水送往災區學校．公司現有大、中、小三種型號貨車．各種型號貨車載重量和運費如表①所示．

	大	中	小
載重（噸/臺）	20	15	12
運費（元/輛）	1500	1200	1000

司機及領隊往返途中的生活費y（單位：元）與貨車臺數x（單位：臺）的關系如圖②所示．為此，公司支付領隊和司機的生活費共8200元．
（1）求出y與x之間的函數關系式及公司派出貨車的臺數；
（2）設大型貨車m臺，中型貨車n臺，小型貨車p臺，且三種貨車總載重量恰好為300噸．設總運費為W（元），求W與小型貨車臺數P之間的函數關系式．（不寫自變量取值范圍）；
（3）若本次派出的貨車每種型號不少于3臺且各車均滿載．
①求出大、中、小型貨車各多少臺時總運費最少及最少運費？
②由于油價上漲，大、中、小三種型號貨車的運費分別增加500元/輛、300元/輛、a元/輛，公司又將如何安排，才能使總運費最少？

Answer 1

解：（1）設y=kx+b，將點（0，200）和點（8，3400）分別代入解析式中得：
，
解得：，
故解析式為：y=400x+200
當y=8200時，400x+200=8200，解得x=20故公司派出了20臺車．

（2）設大型貨車有m臺，中型貨車有n臺，則有：
，
解得：；
則W=1000p+1200n+1500m=1000p+1500×p+1200×（20-p）=-20p+24000．

（3）由題知p≥3，m≥3，n≥3得
，
解得5≤p≤10且p為5的倍數．
①∵-20＜0，
因為W隨p的增大而減小，所以當p=10時，W最小且為23800元．
故小、中、大型貨車分別為10，4，6臺時總運費最小且為23800元．
②設總費用為：Q，由題意可得：
Q=（1000+a）p+1500n+2000m，
=（1000+a）p+1500（20-p）+2000×p-（a-200）p+30000．
①當a-200＞0，即a＞200時，此時p=5，總費用最少，此時m=3，n=12；
②當a-200=0，即a=200時，此時p=5或10時，總費用最少；
③當a-200＜0，即a＜200時，此時p=10，總費用最少，此時m=6，n=4．
分析：（1）根據圖中兩點坐標便可求出y與x的函數關系式；
（2）用p分別表示出中、大型貨車的數量便可得出所求的函數關系式；
（3）根據一次函數的走向和自變量的取值范圍確定答案．
點評：此題主要考查了一次函數的應用以及二元一次方程的應用，根據已知得出函數關系式是解題關鍵．