Question

【題目】在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AC，BD相交于點G，過點A作AE∥DB交CB的延長線于點E，過點B作BF∥CA交DA的延長線于點F，AE，BF相交于點H．

（1）證明：△ABD≌△BAC．

（2）四邊形AHBG是什么樣的四邊形，請猜想并證明．

（3）若使四邊形AHBG是正方形，還需在Rt△ABC添加一個什么條件？請添加條件并證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 四邊形AHBG是菱形,理由見解析;(3) 需要添加的條件是AB=BC,理由見解析

【解析】

（1）可根據已知條件∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，AC=BD即可得到△ABC≌△BAD．

（2）由已知可得四邊形AHBG是平行四邊形，由（1）可知∠ABD=∠BAC，得到△GAB為等腰三角形，AHBG的兩鄰邊相等，從而得到平行四邊形AHBG是菱形．

（3）根據有一個角是直角的菱形是正方形，進行判斷即可．

（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，AC=BD，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．

（2）四邊形AHBG是菱形．

證明：∵AH∥GB，BH∥GA，

∴四邊形AHBG是平行四邊形．

∵△ABC≌△BAD，

∴∠ABD=∠BAC，

∴GA=GB，

∴平行四邊形AHBG是菱形．

（3）需要添加的條件是AB=BC．

證明：∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAG=45°，

又∵△ABC≌△BAD，

∴∠ABG=∠BAG=45°，

∴∠AGB=90°，

∴菱形AHBG是正方形．