Question

如圖已知直線PA交⊙O于A、E兩點，過⊙O上一點C作PE的垂線交PE于D，AB是⊙O的直徑，且AC平分∠DAB．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若CD=4，tan∠CAD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AC是∠DAB的角平分線，那么有∠1=∠2，又OA=OC，故∠1=∠3，等量代換有∠2=∠3，而CD⊥AP，于是可得∠ADC=90°，利用三角形內角和定理可得∠2+∠4=90°，等量代換可得∠3+∠4=90°，即∠OCD=90°，那么CD是⊙O的切線；
（2）由CD⊥AP，那么∠ADC=90°，在Rt△ADC中，CD=4，tan∠CAD=2，利用三角函數值，可求AD=2，再利用勾股定理可求AC，易證△ADC∽△ACB，可得比例線段，AD：AC=AC：AB，從而可求AB，⊙O的半徑等于AB即可求．
解答：（1）證明：∵AC是∠DAB的角平分線，
∴∠1=∠2，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
又∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∵CD=4，tan∠CAD=2，
∴AD=tan∠CAD×CD=2，
∴AC==2，
又∵∠1=∠2，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AB=10，
∴⊙O的半徑=AB=5．
點評：本題利用了角平分線定義、等量代換、三角形內角和定理、切線的判定、三角函數值、勾股定理、相似三角形的判定和性質．