Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（-4，-

25

2

），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，則在線段AC上是否存在這樣的點(diǎn)Q使得△ADQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)把拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a（x+4）²-

25

2

，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從而得到OA、OC、AD的長度，根據(jù)勾股定理列式求出AC的長度，然后根據(jù)銳角三角形函數(shù)求出∠OAC的正弦值與余弦值，再分①AD=Q₁D時(shí)，過Q₁作Q₁E₁⊥x軸于點(diǎn)E₁，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AQ₁，再利用∠OAC的正弦求出Q₁E₁的長度，根據(jù)∠OAC的余弦求出AE₁的長度，然后求出OE₁，從而得到點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)；②AD=AQ₂時(shí)，過Q₂作Q₂E₂⊥x軸于點(diǎn)E₂，利用∠OAC的正弦求出Q₂E₂的長度，根據(jù)∠OAC的余弦求出AE₂的長度，然后求出OE₂，從而得到點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)；③AQ₃=DQ₃時(shí)，過Q₃作Q₃E₃⊥x軸于點(diǎn)E₃，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AE₃的長度，然后求出OE₃，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出Q₃E₃的長度，從而得到點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-

25

2

），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）²-

25

2

，
∵拋物線過點(diǎn)B（1，0），
∴a（1+4）²-

25

2

=0，
解得a=

1

2

，
所以，拋物線解析式為y=

1

2

（x+4）²-

25

2

，
即y=

1

2

x²+4x-

9

2

；

（2）存在點(diǎn)Q₁（-1，-4），Q₂（2

5

-9，-

5

），Q₃（-

13

2

，-

5

4

）．
理由如下：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-

25

2

），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，0），
令x=0，則y=-

9

2

，
令y=0，則

1

2

x²+4x-

9

2

=0，
整理得，x²+8x-9=0，
解得x₁=1，x₂=-9，
∴點(diǎn)A（-9，0），C（0，-

9

2

），
∴OA=9，OC=

9

2

，AD=-4-（-9）=-4+9=5，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

92+( 9 2 )2

=

9 5

2

，
∴sin∠OAC=

OC

AC

=

9 2

9 5 2

=

5

5

，
cos∠OAC=

OA

AC

=

9

9 5 2

=

2 5

5

，
①AD=Q₁D時(shí)，過Q₁作Q₁E₁⊥x軸于點(diǎn)E₁，
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，AQ₁=2•ADcos∠OAC=2×5×

2 5

5

=4

5

，
Q₁E₁=AQ₁•sin∠OAC=4

5

×

5

5

=4，
AE₁=AQ₁•cos∠OAC=4

5

×

2 5

5

=8，
所以，OE₁=OA-AE₁=9-8=1，
所以，點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（-1，-4）；
②AD=AQ₂時(shí)，過Q₂作Q₂E₂⊥x軸于點(diǎn)E₂，
Q₂E₂=AQ₂•sin∠OAC=5×

5

5

=

5

，
AE₂=AQ₂•cos∠OAC=5×

2 5

5

=2

5

，
所以，OE₂=OA-AE₂=9-2

5

，
所以，點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（2

5

-9，-

5

）；
③AQ₃=DQ₃時(shí)，過Q₃作Q₃E₃⊥x軸于點(diǎn)E₃，
則AE₃=

1

2

AD=

1

2

×5=

5

2

，
所以，OE₃=9-

5

2

=

13

2

，
∵Q₃E₃⊥x軸，OC⊥OA，
∴△AQ₃E₃∽△ACO，
∴

Q3E3

AE3

=

OC

OA

，
即

Q3E3

5 2

=

9 2

9

，
解得Q₃E₃=

5

4

，
所以，點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)為（-

13

2

，-

5

4

），
綜上所述，在線段AC上存在點(diǎn)Q₁（-1，-4），Q₂（2

5

-9，-

5

），Q₃（-

13

2

，-

5

4

），使得△ADQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)和綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，（2）要分情況討論．