Question

已知：如圖，在?ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分線DF、AE分別與線段BC相交于點F、E，DF與AE相交于點G．
（1）求證：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質和平行線的性質推出∠ADC+∠DAB=180°，根據角平分線得到∠ADF+∠DAE=

1

2

（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出結論；
（2）過點D作DH∥AE，交BC的延長線于點H，得到平行四邊形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根據平行四邊形的性質和平行線的性質推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的長，根據勾股定理即可求出答案．

解答：（1）證明：在?ABCD中AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°．
∵DF、AE分別是∠ADC、∠DAB的平分線，
∴∠ADF=∠CDF=

1

2

∠ADC，∠DAE=∠BAE=

1

2

∠DAB，
∴∠ADF+∠DAE=

1

2

（∠ADC+∠DAB）=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF；

（2）解：過點D作DH∥AE，交BC的延長線于點H，
則四邊形AEHD是平行四邊形，且FD⊥DH．
∴DH=AE=4，EH=AD=10．
在?ABCD中AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．
∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．
∴DC=FC，AB=EB．
在?ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，
∴CF=BE=6，BF=BC-CF=10-6=4．
∴FE=BE-BF=6-4=2，
∴FH=FE+EH=12，
在Rt△FDH中，DF=

FH2-DH2

=

122-42

=8

2

．
答：DF的長是8

2

．

點評：本題主要考查對平行四邊形的性質，勾股定理，三角形的內角和定理，平行線的性質，角平分線的定義，垂線的定義等知識點的理解和掌握，熟練地運用這些性質進行證明是解此題的關鍵，題型較好，綜合性強．