Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA，OB的中點分別為E，F．
（1）求證：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點E，F分別為線段OA，OB的中點，根據三角形中位線的性質，可得EF∥AB，EF=AB，又由AB∥CD，AB=2CD，即可判定EF=CD，∠OCD=∠OEF，∠ODC=∠OFE，然后利用ASA，即可證得：△FOE≌△DOC；
（2）首先得出四邊形DHBC為矩形，設CD=AH=k，則DH=AH•tan60°，進而得出AC，即可求得sin∠OEF的值．
解答：證明：（1）∵EF是△OAB的中位線，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴∠OEF=∠OCD，∠ODC=∠OFE，
在△FOE和△DOC中，
∵，
∴△FOE≌△DOC（ASA）；

（2）過點D作DH垂直AB，垂足為H，
∵四邊形ABCD為直角梯形，
∴四邊形DHBC為矩形，
∵AB=2CD，
∴AH=CD，
在Rt△AHD中
設CD=AH=k，
則DH=AH•tan60°，
∴，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵∠ABC=90°，
∵，
∴sin∠OEF=sin∠CAB==．
點評：此題考查了梯形的性質、全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理以及三角函數的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．