Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且BC=CD=2AD，過點D作DE∥AB，交∠BCD的平分線于點E，連接BE．將△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△DCG，連接EG．
（1）求證：CD垂直平分EG．
（2）求證：直線BE平分線段CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質，只需說明ED=GD，CE=CG，即可證明；
（2）根據已知條件，要證明直線BE平分線段CD，如圖，只需證明PD=AD，借助全等，只要證明△BAD≌△BPD，即可證明．
解答：證明：（1）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵BC=CD，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴BE=DE，
由圖形旋轉的性質知CE=CG，BE=DG，
∴DE=DG，
∴C，D都在EG的垂直平分線上，
∴CD垂直平分EG．

（2）連接BD，延長BE交CD于點P，
由（1）知BE=DE，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DE，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠DBC，
又∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∴∠4=∠BDP，
又∵BD=BD，
∴△BAD≌△BPD，
∴DP=AD，
∴CD=2AD=2DP，
∴DP=PC=CD，
∴直線BE平分線段CD．
點評：本題主要考查了旋轉的性質、線段的垂直平分線和全等三角形的判定與性質，根據已知條件巧妙構造輔助線，把證明線段相等轉化到全等三角形中或根據特殊四邊形的性質進行分析．