Question

【題目】已知拋物線y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）經過原點，其頂點為P，與x軸的另一交點為A．

（1）P點坐標為　 　，A點坐標為　 　；（用含m的代數式表示）

（2）求出a，m之間的關系式；

（3）當m＞0時，若拋物線y＝a（x﹣m）2+2m向下平移m個單位長度后經過點（1，1），求此拋物線的表達式；

（4）若拋物線y＝a（x﹣m）2+2m向下平移|m|個單位長度后與x軸所截的線段長，與平移前相比有什么變化？請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）（m，2m），（2m，0）；（2）a＝﹣；（3）y＝﹣（x﹣2）2+4或y＝﹣2（x﹣1）2+2；（4）與x軸所截的線段長，與平移前相比是原來的或倍．

【解析】

（1）根據拋物線的頂點式即可求得P的坐標，得出對稱軸為x＝m，然后根據拋物線的對稱性求得A的坐標；

（2）將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣m）2+2m，化簡即可求得a，m之間的關系式；

（3）先表示出當m＞0時，拋物線y＝a（x﹣m）2+2m向下平移m個單位長度后的解析式，再將點（1，1）代入，結合（2）中a和m的關系式，解得a和m的值，即可得出此拋物線的表達式；

（4）分兩種情況：①a＝﹣，m＞0，a＜0，②m＜0，a＞0，a＝﹣，分別得出平移后的拋物線與坐標軸的交點，然后用含m的式子表示出與x軸所截的線段長，兩者相比即可求得答案．

解：（1）∵拋物線y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0），

∴P（m，2m），

∴對稱軸為直線x＝m，

∵拋物線y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）經過原點，

∴A（2m，0）．

故答案為：（m，2m），（2m，0）．

（2）將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣m）2+2m，得am2+2m＝0，m≠0，

∴am+2＝0．

∴am＝﹣2，

∴a＝﹣．

（3）當m＞0時，拋物線y＝a（x﹣m）2+2m向下平移m個單位長度后，得y＝a（x﹣m）2+m．

∵拋物線經過點（1，1），

∴a（1﹣m）2+m＝1，

∴am2﹣2am+a+m＝1．

又∵am＝﹣2，

∴a＝m﹣3．

把a＝m﹣3代入am＝﹣2，

解得a1＝﹣1，m1＝2或a2＝﹣2，m2＝1．

∴此拋物線的表達式為y＝﹣（x﹣2）2+4或y＝﹣2（x﹣1）2+2．

（4）①∵a＝﹣

∴當m＞0時，a＜0，

∵拋物線y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）經過原點

∴y＝ax2﹣2amx

向下平移m個單位后為y＝ax2﹣2amx﹣m

平移前d＝2m

平移后：令ax2﹣2amx﹣m＝0得：

a（x﹣m）2＝am2+m

化簡得：（x﹣m）2＝

∴x1＝m﹣，x2＝m+m

∴d'＝m

∴＝；

②當m＜0時，a＞0，a＝﹣

原拋物線為y＝ax2﹣2amx，向下平移|m|個單位后為y＝ax2﹣2amx+m

平移前d＝﹣2m

平移后：令ax2﹣2amx+m＝0得：

a（x﹣m）2＝am2+m

化簡得：（x﹣m）2＝m2

解得：x1＝m﹣m，x2＝m+m

∴d'＝﹣m

∴＝

綜上所述，與x軸所截的線段長，與平移前相比是原來的或倍．