Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（﹣2，0），把△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△AB′O′，點(diǎn)B、O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為B′、O′．

（1）如圖①，若旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，求BB′的長；

（2）如圖②，若AB′∥x軸，求點(diǎn)O′的坐標(biāo)；

（3）如圖③，若旋轉(zhuǎn)角為240°時(shí)，邊OB上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)O′P+AP′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P′的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，+4）；（3）點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣，．

【解析】分析：（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出AB的長度，連接BB′，由旋轉(zhuǎn)可知：AB=AB′，∠BAB′=60°，進(jìn)而可得出△ABB′為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出BB′的長；

（2）過點(diǎn)O′作O′D⊥x軸，垂足為D，交AB′于點(diǎn)E，則△AO′E∽△ABO，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可求出AE、O′E的長，進(jìn)而可得出點(diǎn)O′的坐標(biāo)；

（3）作點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A′，連接A′O′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)O′P+AP′取最小值，過點(diǎn)O′作O′F⊥y軸，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)P′作PM⊥O′F，垂足為點(diǎn)M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形可求出點(diǎn)O′的坐標(biāo)，由A、A′關(guān)于x軸對稱可得出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線A′O′的解析式，由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OP的長度，再在Rt△O′P′M中，通過解直角三角形可求出O′M、P′M的長，進(jìn)而可得出此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)．

詳解：（1）∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（﹣2，0），∴OA=4，OB=2，∴AB==2．

在圖①中，連接BB′．

由旋轉(zhuǎn)可知：AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′為等邊三角形，∴BB′=AB=2．

（2）在圖②中，過點(diǎn)O′作O′D⊥x軸，垂足為D，交AB′于點(diǎn)E．

∵AB′∥x軸，O′E⊥x軸，∴∠O′EA=90°=∠AOB．

由旋轉(zhuǎn)可知：∠B′AO′=∠BAO，AO′=AO=4，∴△AO′E∽△ABO，==，即==，∴AE=，O′E=，∴O′D=+4，∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（+4）．

（3）作點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A′，連接A′O′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)O′P+AP′取最小值，過點(diǎn)O′作O′F⊥y軸，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)P′作PM⊥O′F，垂足為點(diǎn)M，如圖3所示．

由旋轉(zhuǎn)可知：AO′=AO=4，∠O′AF=240°﹣180°=60°，∴AF=AO′=2，O′F=AO′=2，∴點(diǎn)O′（﹣2，6）．

∵點(diǎn)A（0，4），∴點(diǎn)A′（0，﹣4）．

設(shè)直線A′O′的解析式為y=kx+b，將A′（0，﹣4）、O′（﹣2，6）代入y=kx+b，得：

，解得：，∴直線A′O′的解析式為y=﹣x﹣4．

當(dāng)y=0時(shí)，有﹣x﹣4=0，解得：x=﹣，∴點(diǎn)P﹣，0），∴OP=O′P′=．

在Rt△O′P′M中，∠MO′P′=60°，∠O′MP′=90°，∴O′M=O′P′=，P′M=O′P′=，∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣2+，6+），即（﹣）．