Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+2分別與x軸，y軸交于點A，B，點C是反比例函數y＝的圖象在第一象限內一動點．過點C作直線CD⊥AB．交x軸于點D，交AB于點E．則CE：DE的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AC，根據題意得到A、B的坐標，以及△ADE∽△ABO，即可求得＝＝，進一步求得＝＝2tan∠CAE，當∠CAE最小，即AC與雙曲線（x＞0）只有一個交點時，最小，設AC的解析式為y＝kx﹣4k，則，消去y整理得到kx2﹣4kx﹣4＝0，當AC與雙曲線（x＞0）只有一個交點時，△＝16k2+16k＝0，解得k的值，即可求得AC的解析式，進而求得C，D、E的坐標，然后根據平行線分線段成比例求得CE：DE的最小值為．

解：如圖，連接AC，

∵直線y＝﹣x+2分別與x軸，y軸交于點A，B，

∴A(4，0)，B(0，2)，

∵CD⊥AB，

∴∠AED＝∠AOB＝90°，

∵∠DAE＝∠BAO，

∴△ADE∽△ABO，

∴＝＝，

∴＝＝2tan∠CAE，

∴當∠CAE最小，即AC與雙曲線（x＞0）只有一個交點時，最小，

設AC的解析式為y＝kx﹣4k，則，消去y整理得：kx2﹣4kx﹣4＝0，

當AC與雙曲線（x＞0）只有一個交點時，△＝16k2+16k＝0，解得k＝﹣1或k＝0（舍去），

∴AC的解析式為y＝﹣x+4，

解得，

∴C(2，2)，

設CD的解析式為y＝2x+n，則2＝4+n，

解得n＝﹣2，

∴CD的解析式為y＝2x﹣2，

∴D(1，0)，

解得，

∴E（，），

過E點作MN⊥x軸于N，交過C點與x軸平行的直線于M，

∴MC∥DN，

∴＝＝＝，

故答案為．