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已知:O為四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點,將直角三角板的直角頂點與O點重合,轉動三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交,交點分別為M、N.
(1)若ABCD為正方形,如圖①,猜想:線段OM與ON間的大小關系,并證明你的結論;
(2)若ABCD為矩形,如圖②,且AB=4,AD=6,OM=x,ON=y,求y與x之間的函數關系式.
【答案】分析:(1)由四邊形ABCD為正方形,易證得△AON≌△BOM,然后由全等三角形的性質,證得OM=ON;
(2)首先過點O作OE⊥AB于點E,作OF⊥BC于點F,易證得△FOM∽△EON,然后由相似三角形的對應邊成比例,求得y與x之間的函數關系式.
解答:(1)OM=ON.
證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠OAN=∠OBM=45°,∠AOB=90°,
∴∠AON+∠BON=90°,
∵∠BON+∠BOM=90°,
∴∠AON=∠BOM,
在△AON和△BOM中,

∴△AON≌△BOM(ASA),
∴OM=ON;

(2)解:過點O作OE⊥AB于點E,作OF⊥BC于點F,
∵四邊形ABCD為矩形,AB=4,AD=6,
∴OE=AD=3,OF=AB=2,OE⊥OF,
∴∠EOM+∠FOM=90°,
∵∠EON+∠EOM=90°,
∴∠EON=∠FOM,
∵∠OEN=∠OFM=90°,
∴△FOM∽△EON,
∴OM:ON=OF:OE=2:3,
∵OM=x,ON=y,
∴y與x之間的函數關系式為:y=x.
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質以及矩形的判定與性質.此題那難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數形結合思想的應用.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知:△ABC為等邊三角形,D、F分別為射線BC、射線AB邊上的點,BD=AF,以AD為邊作等邊△ADE.
(1)如圖①所示,當點D在線段BC上時:
①試說明:△ACD≌△CBF;②判斷四邊形CDEF的形狀,并說明理由;
(2)如圖②所示,當點D在BC的延長線上時,判斷四邊形CDEF的形狀,并說明理由.
(3)當點D在射線BC上移動到何處時,∠DEF=30°,并說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

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(1)若ABCD為正方形,如圖①,猜想:線段OM與ON間的大小關系,并證明你的結論;
(2)若ABCD為矩形,如圖②,且AB=4,AD=6,OM=x,ON=y,求y與x之間的函數關系式.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖(甲)所示,已知點C為線段AB上一點,四邊形ACMF和四邊形BCNE是兩個正方形:如圖(乙),若把甲圖中的兩個正方形換成△ACM、△BCN都是等邊三角形.連結DE.
(1)試探究圖(甲)中AN與BM的數量關系與位置關系,并說明理由.
(2)求證:AD=ME;(圖乙)
(3)求證:DE∥AB; (圖乙)
(4)求證:∠BON=60°.(圖乙)

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

已知:O為四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點,將直角三角板的直角頂點與O點重合,轉動三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交,交點分別為M、N.
(1)若ABCD為正方形,如圖①,猜想:線段OM與ON間的大小關系,并證明你的結論;
(2)若ABCD為矩形,如圖②,且AB=4,AD=6,OM=x,ON=y,求y與x之間的函數關系式.

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