Question

如圖：?OBCD中，∠DOB=60°，OD=2，以OD為直徑的⊙P經過點B，點N為BC邊上任意一點（與點B、C不重合），過N作直線MN⊥x軸，垂足為A，交DC邊于M．設OA=t，△OMN的面積為s．
（1）求點D的坐標；
（2）求s與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）當s為時，直線MN與⊙P是什么位置關系．

Answer 1

解：如下圖所示：連接DB，BP

（1）由于⊙OP過點B，OD是圓的直徑，所以∠DBO=90°
在Rt△OBD中，OB=OD×cos∠DOB=2×=1；DB=OD×sin∠DOB=2×=
所以點D的坐標為：D（1，）；

（2）由于ODBC是平行四邊形，且MN⊥x軸于A
所以AM=BD=，∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=（t-1）
所以MN=AM-AN=（2-t）
即：△OMN的面積為s=×MN×OA=×（2-t）t=t（2-t）
又∵點N為BC邊上任意一點與點B、C不重合
∴t的取值范圍為：1＜t＜2；

（3）當s=t（2-t）=時，又1＜t＜2，所以t=
圓心P到MN的距離等于（DM+OA）=×（-1+）=1=OD
所以此時直線MN與⊙P相切．
分析：利用圓內接三角形的性質得出∠DBO=90°，從而求出D的坐標；運用圓與直線的線切知識求出直線MN與⊙P的關系．
點評：本題考查圓內接三角形的性質和直線與圓相切的知識．