Question

如圖，Rt△ABC中，∠C= Rt∠，AC=BC=2，E，F分別為AC，AB的中點，連結EF。

現將一把直角尺放在給出的圖形上，使直角頂點P在線段EF（包括端點）上滑動，直角的

一邊始終經過點C，另一邊與BF相交于G，連結AP。

（1）求證：PC=PA=PG；

（2）設EP=，四邊形BCPG的面積為，求與之間的函數解析式，現有三個數，， 試通過計算說明哪幾個數符合值的要求，并求出符合值時的的值。

（3）當直角頂點P滑動到點F時，再將直角尺繞點F順時針旋轉，兩直角邊分別交AC，BC于點M，N，連結MN。當旋轉到使時，求△APM的周長。

 

Answer 1

【答案】

（1）∵E，F分別是AC，AB的中點，∴EF=，EF∥BC，

∴EF垂直平分AC，∴AP=PC，

∠ECP=∠EAP；∵∠CPG=90°，∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC

∴∠ECP=∠GPF。∵∠GPF+∠PGF=∠AFE=45°，

  ∠EAP+∠PAF=45°，∴∠PGF=∠PAF。

∴PA=PG，∴PA=PC=PG。

（2）過G作PF的垂線，垂足為H，

∵ ∠ECP+∠EPC=90°，∠HPG+∠EPC=90°∴∠ECP=∠HPH， PC=PG。

則R△PCE≌R△GPH（AAS），∴GH=PE=

∴，

∴  ，或。

∵0≤＜1，∴1＜≤。∴，不符合，所以只有，

∴，，解得，，＞1（舍去），

答當時，的值為。

或①當時，，△＜0，方程無實數解；

②當時，，解得，，＞1（舍去），

所以當時，的值為。

③當時，，解得＜0（舍去），＞1（舍去），所以不符合。

（2）連結CP，則CP⊥AB，

                         

∵AP=CP，∠A=∠PCN=45°，

∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，∴∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），  AM=CN，

則CN=BN，，則，

  ，解得，，，即或；

  ∴，，  ∴周長為，或

【解析】（1）先利用EF垂直平分AC得出AP=PC,再利用等量代換得出∠PGF=∠PAF得出PA=PG，從而得出PA=PC=PG;

(2)過G點作PF的垂線，垂足為H，證出R△PCE≌R△GPH，得出GH=PE=，然后利用四邊形BCPG面積=梯形BCEF面積-△CEP面積-△PFG面積得出解析式，然后根據0≤＜1，得出y的取值范圍，再把已知的三個數代入求解；

（3）連接CP，證出△APM≌△CPN，得出AM=CN，然后利用△MNC為直角三角形，算出CM的長，即AM的長，再計算出AP和PM的長，從而得出△APM的周長。