Question

【題目】如圖1，直角三角形的直角頂點在矩形的對角線上（點不與點重合，可與點重合），滿足，于點，已知，．

（1）若，則___________；

（2）當點在的平分線上時，求的長；

（3）當點的位置發生改變時：

①如圖2，的外接圓是否與一直保持相切．說明理由；

②直接寫出的外接圓與相切時的長．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）；（3）①的外接圓與一直保持相切，理由見解析；②4.

【解析】

（1）根據平行線截線段成比例得到，求出，則；

（2）根據平行線截線段成比例得到，設，，則，，再根據角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等得到，最后利用等面積法列出的方程，解方程得出x，最后代入即可得出答案；

（3）①根據直徑所對的圓周角是直角，可知的外接圓是以的中點為圓心，為半徑的圓；利用證出，利用圓中半徑相等，證出，即可得出答案；

②當的外接圓與相切時（圖見解析），利用，表示出，，，，，再根據，列出方程，解出，則．

解：（1）在矩形中，，，

，

在矩形中，

∵于點，

∴，

∴，

∴，

，

．

故答案為：9．

（2）如圖1，

在矩形中，

∵于點，

∴．

∴．

設，，則，.

作于點，

∵點在的平分線上，

∴．

，

即，解得．

∴．

（3）①的外接圓與一直保持相切．

如圖2所示，

∵是直角三角形，

∴的外接圓是以的中點為圓心，為半徑的圓．

在中，．

在中，，

∴，

∵，，即．

∵點是斜邊的中點，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴當點的位置發生改變時，的外接圓與一直保持相切.

②4．

如圖3，

的外接圓與切于點時，

的外接圓是以的中點為圓心，為半徑的圓．

過點作于點，連接．

四邊形為矩形，．

設，，，

，

則，．

在中，，

∴．

∵，即.

∴．

∴．

∴當的外接圓與相切時，的長為4．