Question

某企業信息部進行市場調研發現：
信息一：如果單獨投資A種產品，則所獲利潤y_A（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在正比例函數關系：y_A=kx，并且當投資5萬元時，可獲利潤2萬元；
信息二：如果單獨投資B種產品，則所獲利潤y_B（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數關系：y_B=ax²+bx，并且當投資2萬元時，可獲利潤2.4萬元；當投資4萬元，可獲利潤3.2萬元．
（1）請分別求出上述的正比例函數表達式與二次函數表達式；
（2）如果企業同時對A、B兩種產品共投資10萬元，請你設計一個能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）∵當x=5時，y_A=2，
∴2=5k，
∴k=0.4．
∴y_A=0.4x．
當x=2時，y_B=2.4；
當x=4時，y_B=3.2
∴，
解得．
∴y_B=-0.2x²+1.6x．

（2）設投資B種商品x萬元，則投資A種商品（10-x）萬元，獲得利潤W萬元．
根據題意可得：
W=-0.2x²+1.6x+0.4（10-x）=-0.2x²+1.2x+4．
∴W=-0.2（x-3）²+5.8．
當投資B種商品3萬元時，可以獲得最大利潤5.8萬元，
所以投資A種商品7萬元，B種商品3萬元，這樣投資可以獲得最大利潤5.8萬元．
分析：（1）根據所給數據易得方程和方程組，解之得函數表達式；
（2）設同時投資兩種產品獲利W萬元，w=y_A+y_B，得出利潤表達式，運用函數性質求解．
點評：此題難點在第二個問題，求出利潤表達式，運用函數性質求最值，常用配方法或公式法．