Question

如圖所示，花園邊墻上有一寬為1m的矩形門ABCD，量得門框對角線AC的長為2m．現準備打掉部分墻體，使其變為以AC為直徑的圓弧形門，問要打掉墻體的面積是多少？
（精確到0.1m²，π≈3.14，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：設矩形外接圓的圓心為O，作OE⊥BC，垂足為E，連接AC，BD．有AC=2，BC=1，可求AB=

3

，且可得到∠BAC=30°，于是∠ACB=60°，可以知道△OBC是等邊三角形，因此OE=

3

2

．打掉墻體的面積=S_⊙O-S_矩形-S_扇形OBC+S_△OBC，計算各部分的面積就可求出．

解答：解：設矩形外接圓的圓心為O，作OE⊥BC，垂足為E，連接AC，BD．
∵矩形ABCD的AC=2m，BC=1m，
∴∠BAD=∠BCD=90°，AB=

22-12

=

3

，
∴AC、BD均為⊙O的直徑，
∴⊙O的半徑R=

AC

2

=1（m），
∵BO=CO=BC=1m，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=60°．在Rt△OEB中，OB=1（m），∠OBE=60°，sin∠OBE=

OE

OB

，
∴OE=OB•sin∠OBE=

3

2

（m），
應打掉的墻體面積為S=S_⊙O-S_矩形ABCD-S_扇形OBC+S_△OBC
=π×12-1×

3

-

60π×12

360

+

1

2

×1×

3

2

≈1.3m²．

點評：本題考查了矩形的性質，扇形、矩形、三角形、圓的面積公式及勾股定理的使用．