Question

（2009•柳州）如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點F．
（1）求證：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半徑為3，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：連接AC，根據已知條件利用等角對等邊可以得到CF=BF；作CG⊥AD于點G，先利用HL判定Rt△BCE≌Rt△DCG，推出BE=DG，根據邊之間的關系可求得BE的值，再根據相似三角形的判定得到△BCE∽△BAC，根據相似三角形的對應邊成比例，可得到BC²=BE•AB，這樣便求得BC的值，注意負值要舍去．
解答：（1）證明：連接AC，如圖
∵C是弧BD的中點
∴∠BDC=∠DBC（1分）
又∵∠BDC=∠BAC
在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC（3分）
∴CF=BF；（4分）

（2）解：解法一：作CG⊥AD于點G，
∵C是弧BD的中點
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分線．（5分）
∴CE=CG，AE=AG（6分）
在Rt△BCE與Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2（8分）
又∵△BCE∽△BAC
∴BC²=BE•AB=12（9分）
BC=±2（舍去負值）
∴BC=2．（10分）

解法二：∵AB是⊙O的直徑，CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分
在Rt△ADB與Rt△FEB中，
∵∠ABD=∠FBE
∴△ADB∽△FEB，
則，即，
∴BF=3EF（6分）
又∵BF=CF，
∴CF=3EF
利用勾股定理得：
（7分）
又∵△EBC∽△ECA
則，
則CE²=AE•BE（8分）
∴（CF+EF）²=（6-BE）•BE
即（3EF+EF）²=（6-2EF）•2EF
∴EF=（9分）
∴BC=．（10分）
點評：此題主要考查學生對圓周角的定理，相似三角形的判定，全等三角形的判定等知識點的綜合運用能力．