Question

同一底上的兩個底角相等的梯形是等腰梯形嗎？如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：這個梯形是等腰梯形．理由如下： 　　根據題意，畫出如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，且∠B＝∠C， 　　試說明四邊形ABCD是等腰梯形． 　　如圖所示． 　　過點A作AE∥DC，交BC于E． 　　因為AD∥BC，AE∥CD， 　　所以四邊形AECD是平行四邊形． 　　所以∠AEB＝∠C，AE＝CD． 　　又因為∠B＝∠C， 　　所以∠AEB＝∠B． 　　所以AB＝AE． 　　所以AB＝CD． 　　所以四邊形ABCD是等腰梯形． 　　解法2：這個梯形是等腰梯形．理由如下： 　　如圖所示． 　　過A作AE⊥BC，垂足為E，過D作DF⊥BC，垂足為F． 　　所以∠AEB＝∠DFC＝90°，AE∥DF． 　　又因為AD∥BC， 　　所以四邊形AEFD是矩形． 　　所以AE＝DF． 　　又因為∠B＝∠C， 　　所以Rt△ABE≌Rt△DCF(AAS)． 　　所以AB＝CD． 　　所以四邊形ABCD是等腰梯形． 　　解法3：這個梯形是等腰梯形．理由如下： 　　如圖所示， 　　延長BA，CD相交于點E， 　　因為∠B＝∠C，所以EB＝EC． 　　又因為AD∥BC， 　　所以∠EAD＝∠B，∠EDA＝∠C． 　　所以∠EAD＝∠EDA． 　　所以EA＝ED． 　　所以EB－EA＝EC－ED． 　　即AB＝CD． 　　所以四邊形ABCD是等腰梯形． 　　分析：“同一底上的兩個底角相等的梯形是等腰梯形”本身就是等腰梯形的判定方法，做題時要仔細審題，正確畫出圖形，此題解法有多種，因此，輔助線也有多種作法，比如作腰的平行線，作高或延長兩腰等，但總的方向是化梯形問題為三角形或平行四邊形的問題來解決． 　　小結：解梯形問題，常通過作輔助線把梯形轉化為三角形或平行四邊形．這是解梯形問題常用的方法，作輔助線的方法也有許多．