Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有兩個實數根x1 ， x2 ．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）是否存在實數k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，解得

（2）解：由 ，

由根與系數的關系可得：

代入得： ，

化簡得： ，

得 .

由于 的取值范圍為 ，

故不存在k使 。

【解析】（1）根據題意可知原方程有兩個實數根，得出b2-4ac≥0，列不等式求解即可。
（2）先將x1·x2－x12－x22轉化為 3x1x2（x1+x2）2，再利用根與系數的關系求出x1+x2和x1x2，然后代入建立關于k的不等式，求出不等式的解集，即可得出結果。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用求根公式和根與系數的關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．