Question

如圖，射線OA⊥射線OB，半徑r=2cm的動圓M與OB相切于點Q（圓M與OA沒有公共點），P是OA上的動點，且PM=3cm，設OP=xcm，OQ=ycm．
（1）求x、y所滿足的關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當△MOP為等腰三角形時，求相應的x的值；
（3）是否存在大于2的實數x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相應x的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點M作MD⊥OA，垂足為D，可以知道△MDP為直角三角形，DP=（x-2）cm，MD=ycm，勾股定理即可得出x、y所滿足的關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）若△MOP為等腰三角形，①若OM=MP，則有OD=PD，此時x=2×2=4；②若MP=OP時，x=3；③若OM=OP時，OM=4+y²，結合（1）求出x的值；
（3）△MQO∽△OMP，因為∠Q=90°，∠OMP=90°，根據相似比及（1）的關系式求相應x的值．

解答：解：（1）過點M作MD⊥OA，垂足為D，顯然ODMQ為矩形，
∴OD=MQ=2，MD=OQ=y，
∴PD=x-2，
在Rt△MDP中，y²+（x-2）²=3²，
∴x²-4x+y²=5，
當如圖所示情況時，OD=2；
當⊙M與OA相切時，
可知OP=2+

5

，
∴x取值范圍為0≤x＜2+

5

；

（2）①若OM=MP，此時x=4，
②若MP=OP時，此時x=3，
③若OM=OP時，
∵OM=4+y²，
∴4+y²=x²，
∴

4+y2=x2 x2-4x+y2=5

，
解得x=

2+ 22

2

；

（3）∵△QMO∽△MOP，此時∠OMP=90°，則

OQ

MP

=

OM

OP

=

MQ

OM

，
∴

y

3

=

4+y2

x

=

2

4+y2

，
∴4+y²=2x，
∴

4+y2=2x x2-4x+y2=5

，
∴x=1+

10

＜2

5

，
∴存在這樣的實數x，并且x=1+

10

．

點評：此題綜合考查函數、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質等知識．此題是一個大綜合題，難度較大．