Question

已知關于x的方程mx²+（3-2m）x+（m-3）=0，其中m＞0．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個實數根分別為x₁，x₂，其中x₁＞x₂，若y=

x2-1

3x1

，求y與m的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，請根據函數圖象，直接寫出使不等式y≤-m成立的m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出△的值，再證出△＞0，即可得出結論．
（2）本題需先求出x的值，再代入y與x的關系式即可得出結果．
（3）本題需先分別畫出反比例函數和正比例函數的圖象，再根據圖象即可求出使不等式y≤-m成立的m的取值范圍．

解答：（1）證明：由題意可知，∵△=（3-2m）²-4m（m-3）=9＞0，
即△＞0．
∴方程總有兩個不相等的實數根．

（2）解：由求根公式，得x=

-(3-2m)±3

2m

．
∴x=1-

3

m

或x=1．
∵m＞0，
∴1＞1-

3

m

．
∵x₁＞x₂，
∴x1=1，x2=1-

3

m

．
∴y=

x2-1

3x1

=-

1

m

．
即y=-

1

m

  (m＞0)為所求．

（3）解：在同一平面直角坐標系中
分別畫出y=-

1

m

  (m＞0)
與y=-m（m＞0）的圖象．
由圖象可得，由圖象可得
當0＜m≤1時，y≤-m．

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，在解題時要注意綜合應用根的判別式與反比例函數的關系式本題的關鍵．