Question

如圖1，點D、F、A、E在同一直線上，且AE=DF，分別以DA、AE為一邊，在直線DE

的同側作等邊△DBA和等邊△ACE，試證明△BCF也是等邊三角形。

（1）下面是小偉對此題的分析過程，請你根據他的分析填空：此題中，要想證明△BCF是等邊三角形，至少要證明兩條邊相等。欲證兩條邊相等，可以通過證明這兩條邊所在的兩個三角形全等來實現。根據已知條件，在不加輔助線的情況下，不妨嘗試證明       ≌△ABC，依據是                 （寫出定義、公理或定理的內容）；

（2）如圖2，點D、B、C在同一直線上，分別以DB、BC為一邊，在直線DC的同側作等邊△DBA和等邊△BCF，再以DA、DF為鄰邊作□ADFE，求證：△ACE是等邊三角形；

（3）如圖3是將（2）中的等邊△BCF繞點B順時針旋轉一個角度后得到的圖形，若其他條件不變，△ACE是否還是等邊三角形?請加以說明。

Answer 1

解：

（1）△DBF（或△EFC），如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應相等，

那么這兩個三角形全等。

（2）∵△ABD與△FBC都是等邊三角形，

∴AB=AD，BC=CF，∠ABD=∠BFC=∠BCF=60º，∠FBC=∠ADB=60º，

∴∠ABC=180º－∠ABD=120º，BF∥DA，

又∵四邊形ADFE是平行四邊形，

∴EF=AD=AB，FE∥DA，

∴點B、F、E在同一條直線上，

∴∠EFC=180º－∠BFC=120º=∠ABC。

∴△ABC≌△EFC，

∴AC=CE，∠ACB=∠ECF

∴∠ACE=∠BCF=60º，

∴△ACE是等邊三角形。

（3）△ACE是等邊三角形。

設EF的延長線與AB的延長線相交于點P，與BC相交于點Q。

    ∵△ADB與△FBC都是等邊三角形，

∴AB=AD，BC=CF，∠BAD=∠BCF=60º，

又∵四邊形ADFE是平行四邊形，

∴EF=AD=AB，EF∥AD，

∴∠P=∠BAD=60º=∠BCF，

又∵∠ABC=∠P+∠PQB，∠EFC=∠BCF+∠CQF，∠PQB=∠CQF，

∴∠ABC=∠EFC，

∴△ABC≌△EFC，

∴AC=CE．∠ACB=∠ECF，∠ACE=∠BCF=60º，

∴△ACE是等邊三角形。