Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，⊙C的圓心坐標為（－2，－2），半徑為．函數y＝－x＋2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P為AB上一動點

（1）連接CO，求證：CO⊥AB；

（2）若△POA是等腰三角形，求點P的坐標；

（3）當直線PO與⊙C相切時，求∠POA的度數；當直線PO與⊙C相交時，設交點為E、F，點M為線段EF的中點，令PO＝t，MO＝s，求s與t之間的函數關系，并寫出t的取值范圍．

 

Answer 1

 

（1）證明略

（2）點P的坐標為(0，2)或(1，1)或(2－，)

（3）s＝．(≤t≤)

解析:（1）延長CO交AB于D，過點C作CG⊥x軸于點G．

∵直線AB的函數關系式是y＝－x＋2，∴易得A(2，0)，B(0，2)，∴AO＝BO＝2．

又∵∠AOB＝90°，∴∠DAO＝45°．

∵C(－2，－2)，∴CG＝OG＝2，∴∠COG＝45°，∠AOD＝45°，∴∠ODA＝90°．

∴OD⊥AB，即CO⊥AB．

（2）要使△POA為等腰三角形．

①當OP＝OA時，此時點P與點B重合，所以點P的坐標為(0，2)；

②當OP＝PA時，由∠OAB＝45°，所以點P恰好是AB的中點，所以點P的坐標為(1，1)；

③當AP＝AO時，則AP＝2，過點作PH⊥OA交OA于點H，

在Rt△APH中，易得PH＝AH＝，∴OH＝2－，∴點P的坐標為(2－，)．

∴若△POA為等腰三角形，則點P的坐標為(0，2)或(1，1)或(2－，)．

（3）當直線PO與⊙C相切時，設切點為K，連接CK，則CK⊥OK．

由點C的坐標為(－2，－2)，易得CO＝．∴∠POD＝30°，

又∠AOD＝45°，∴∠POA＝75°，同理可求得∠POA的另一個值為15°．

∵M為EF的中點，∴CM⊥EF，

又∵∠COM＝∠POD，CO⊥AB，∴△COM∽△POD，所以，即MO·PO＝CO·DO．

∵PO＝t，MO＝s，CO＝，DO＝，∴st＝4．

但PO過圓心C時，MO＝CO＝，PO＝DO＝，即MO·PO＝4，也滿足st＝4．

∴s＝．(≤t≤)．